Div2-A

Заводим массив used на 100 элементов и заполняем его таким образом: used[i]  =  1, если хотя бы один из однокашников Алексея претендует на часть (i,  i  +  1). Далее проходимся циклом от l₁ до r₁  -  1 и находим количество тех i, для которых used[i]  =  0. Это и будет ответом.

Эту задачу можно решать и за O(nlogn), используя сортировку событий или просто сортировку и линейное решение далее. Такое решение будет находить требуемую величину сразу для всех отрезков.

Div2-B

Посчитаем, сколько раз по L мы можем взять, не превысив N. Это количество равно .

Тогда, если R·K  ≥  N, будем увеличивать какое-то из K чисел на 1, в какой-то момент у нас получится в сумме N, так в итоге будет больше. Значит ответ — YES.

В обратном случае, если мы возьмем не больше K чисел, то их сумма меньше N. Если взять больше K чисел, то сумма будет больше N. Значит ответ — NO.

Сложность ответа на 1 запрос: O(1).

Div1-A/Div2-C

Разложим все данные n чисел на простые множители. Теперь нам нужно решить задачу отдельно по каждому простому, а потом перемножить ответы для различных простых. Количество способов разбить p^k, где p — простое, на n множителей равно C(k + n - 1,  n - 1) (Это можно получить методом шаров и перегородок, подробнее здесь, выбрать combinatorics). Таким образом, получаем решение за .

Div1-B/Div2-D

Пусть для начала n  +  1  =  p — простое. Докажем по индукции, что в этом случае ответ — . При p  =  3 — очевидно. Пусть это равенство доказано для p, а q — следующее простое. Тогда ответ для q — это ответ для p плюс q  -  p одинаковых слагаемых вида , то есть , что и требовалось доказать.

Далее, воспользовавшись тем, что между любыми соседними простыми числами, не превосходящими 10⁹, разница не более нескольких сотен, находим ответ, как ответ для наибольшего (явно проверяем числа на простоту за корень) не превосходящего простого плюс . Отсюда же замечаем, что в ответе знаменатель это 2pq (или его делитель), что влазит в int64.

Div1-C/Div2-E

Запишем все вершины в порядке обхода dfs'а, тогда потомки одной вершины образуют подотрезок. Запомним также для каждой вершины расстояние от нее до корня level[v].

Заведем два дерева отрезков (ДО). При запросе на изменения в первом ДО добавим на отрезке, соответствующем потомкам вершины v, x  +  level[v]·k, а во втором ДО на том же отрезке добавим k.

Тогда, если обозначим первое ДО как st1, второе ДО как st2, то при запросе второго типа в вершине v нужно вывести st1.get(v)  -  st2.get(v)  *  level[v].

Сложность: O(qlogn)

Вместо дерева отрезков можно использовать другие структуры данных, поддерживающие добавление на отрезке и запрос в одном элементе. Также в комментариях приведен способ несколько другой реализации: http://codeforces.com/blog/entry/10961#comment-162286

Также существует решение с Heavy-Light декомпозицией.

Div1-D

Заметим полезный факт: если взять все перестановки длины k, то сумма количеств инверсий в них будет равна . Доказывается он очень просто: если в перестановке p для каждого i заменим p_i на k  +  1  -  p_i, то сумма количеств инверсий p и новой перестановки будет равна , и при этом наше преобразование является биекцией.

Далее будем считать, что все перестановки на числах от 0 до n  -  1, а не от 1 до n, как в условии. Ясно, что в этом нет никакой разницы.

Пойдем по перестановке с начала. Какие перестановки бывают меньше данной?

• Те, у которых первое число меньше, чем p₀. Пусть первое число a  <  p₀, тогда в каждой такой перестановке a инверсий вида (первый элемент, еще какой-то элемент). То есть всего во всех перестановках с первым числом a их a·(n  -  1)!. Кроме того, есть инверсии среди элементов, не содержащих первый. Их суммарно sumAll[n  -  1]. Тогда суммарно по всем a получаем инверсий: .
• Перестановки, которые начинаются на p₀: Во-первых, нужно учесть кол-во инверсий, начинающихся в начале. Их cnt·p₀, где cnt — количество перестановок, начинающихся на p₀ и не больших данной. Во-вторых, нужно учесть инверсии "не в начале". Но это такая же задача! Единственное исключение — меньше числа p₁ может быть доступно не p₁ чисел, а меньше на 1, если p₁  >  p₀. Отсюда получаем решение: итерируемся с начала, запоминаем в дереве Фенвика числа, которые уже использованы, далее решаем такую же задачу, но считаем что первое число это p_i - (кол-во уже использованных чисел, меньших чем p_i).

Осталось посчитать количество перестановок, не больших чем суффикс данной и начинающихся также. Это можно легко пересчитывать, если двигаться не вперед, а назад. В таком случае нужно делать то же самое, но минимальное число считать равным количеству уже использованных чисел, меньше данного.

Div1-E

Опишем алгоритм, а потом поймем, почему он делает то, что нужно.

Заведем для каждого простого числа список полуинтервалов. Изначально для каждого простого p_i, имеющегося в инпуте, положим туда [0;a_i). У всех остальных простых оставим список пустым.

Далее, будем итерироваться по всем простым в порядке убывания. Пусть текущее простое p. Если в его списке есть полуинтервал вида [x;y), $x < k, y > k$, разделим его на 2 полуинтервала [x;k) и [k;y).

Далее для каждого полуинтервала [x;y), x  ≥  k (на самом деле, x  >  k не бывает) добавим к ответу для p величину y  -  x, а для полуинтервалов y  ≤  k добавим к списку каждого из простых делителей числа p  -  1 полуинтервал [x  +  1,  y  +  1). В случае, если p  -  1 делится на больше чем первую степень какого-то простого, нужно добавить такой отрезок несколько раз.

После этого нужно провести операцию "объединения со смещением" для всех простых, у которых изменился список. Если в одном списке существуют 2 полуинтервала [x,  y), [z,  t) при y  ≥  z  >  x, то их нужно заменить на 1 полуинтервал [x,  y  +  t  -  z) (т.е добавить t  -  z к концу первого из них). Далее переходим к следующему (меньшему) p.

Почему это работает? Вспомним сперва, что происходит с числом n при одной итерации взятия φ. Для любого p, которое входит хотя бы 1 раз в разложение числа n, n делится на p и умножается на p  -  1 (или, что тоже самое, на все простые числа p  -  1 в соответсвующих степенях).

Теперь поймем, что полуинтервалы, которые мы поддерживали для чисел — это то, после каких по счету итераций число содержало в себе данный простой множитель. На большие простые меньшие никак не влияют, поэтому их можно рассматривать раньше. Если после i-ой итерации число содержало простой множитель p, то после i  +  1-й оно будет содержать простые делители p  -  1, поэтому мы именно таким образом передаем отрезки. Итерация с номером k — последняя, поэтому полуинтервал [k,  x) означает, что после k-ой итерации останется степень x  -  k данного простого. Отсюда понятно, почему нужно объединять отрезки со смещением, как описано выше.

Почему это работает быстро?

Потому что мы предподсчитали решетом за линию минимальный делитель каждого числа и раскладываем число на простые за кол-во простых в нем. (На самом деле это делать не обязательно)

Потому что для каждого простого отрезков одновременно, очевидно, не более чем log(MAXP) =  20, ибо для каждого [a,  b) выполняется a  ≤  log(MAXP)  +  1. Если чуть подумать, то их не более чем половина от этого, ибо 2 отрезка не начинаются в подряд идущих числах. Экспериментально, их не более 6.

Несколько другой подход к этой задаче описан в комментариях: http://codeforces.com/blog/entry/10961#comment-162236

Авторы не уверены, что в разборе все решения написаны понятно, поэтому любые вопросы по нему приветствуются!

Пост был восстановлен из кэша google, формулы были оформлены заново, поэтому, если видите ошибку в них, пожалуйста, пишите мне в личку.