Задача A(div 2) — ЛНПП

Предполагалось, что эту задачу можно решить, не читая её условия, а только глядя на примеры :)

Найдём в заданной строке символ, который идёт в алфавите позже всех, обозначим его через z. Если этот символ встречается в строке p раз, то ответ — это строка a, состоящая из символа z, повторённого p раз.

Почему это так? Из определения лексикографического сравнения и из того, что символ z — максимальный в строке, несложно понять, что если какая-то другая подпоследовательность b заданной строки лексикографически больше a, то строка b обязана иметь большую длину, чем a, и при этом a должна являться префиксом (началом) b. Однако строка b должна также быть палиндромом, поэтому последний её символ — обязательно z. В таком случае в строке b должно быть больше вхождений символа z, чем в исходной строке s, что невозможно, так как b --- подпоследовательность s.

Кроме того, ограничение на длину строки было совсем небольшим, поэтому задачу можно было решить перебором всех подпоследовательностей строки. Для каждой из них нужно проверить, является ли она палиндромом, и из всех являющихся выбрать лексикографически наибольшую. Сложность такого решения составляет O(2ⁿ·n), где n — длина строки (в отличие от решения выше, сложность которого O(n)).

Задача В(div 2) — Инновационно новая простая задача

Ограничения в задаче были настолько малы, что проходило решение со сложностью O(m·kⁿ). В описании каждой задачи достаточно перебрать все возможные подпоследовательности слов, являющиеся перестановками описания Лёшиной задачи, для каждой из них вычислить количество инверсий, и выбрать перестановку с минимальным количеством инверсий. Это можно сделать либо с помощью рекурсии, либо, например, с помощью необходимого количества вложенных циклов (от 1 до 4).

Вот пример псевдокода для случая n = 4:

w - массив слов задачи Лёши
s - описание очередной задачи из архива
best = 100
for a = 1 to k do
    for b = 1 to k do
        for c = 1 to k do
            for d = 1 to k do
                if s[a] == w[1] and s[b] == w[2] and s[c] == w[3] and s[d] == w[4] then
                    inversions = 0
                    if a > b then inversions = inversions + 1
                    if a > c then inversions = inversions + 1
                    if a > d then inversions = inversions + 1
                    if b > c then inversions = inversions + 1
                    if b > d then inversions = inversions + 1
                    if c > d then inversions = inversions + 1
                    if inversions < best then
                        best = inversions

В конце нужно выбрать задачу с минимальным значением best и вывести ответ в соответствующем формате.

Задача A(div 1)/C(div 2) — Чёткая симметрия

Интересно, что первоначально у авторов была идея не включать случай x = 3 в претесты. Представьте, сколько было бы в этом контесте сделано успешных взломов — при том, что из первых 43 решений по этой задаче ни одно претесты не прошло :)

Заметим, что ответ n — всегда нечётное число. Действительно, если n чётно, то две центральные строки матрицы A обязаны содержать только нули — в противном случае найдутся две соседние клетки, содержащие единицы. Аналогичное требование относится и к двум центральным столбцам матрицы A. Заменив две центральные строки на одну и два центральных столбца на один, при этом оставив в них нули, получим матрицу с такой же остротой, но со стороной на единицу меньше.

Заметим, что острота матрицы со стороной n не может превысить . Несложно убедиться, что на квадратное поле со стороной n можно выложить "доминошек" 1 на 2 так, чтобы "доминошки" не пересекались (иными словами, все клетки, кроме одной, можно разбить на пары так, что клетки в каждой паре имеют общую сторону). Тогда в соответствующей матрице под клетками, покрытыми одной "доминошкой", может располагаться не более одной единицы. Значит, общее количество единиц не превышает .

Заметим, что матрица со стороной n и остротой при нечётном n существует. Раскрасим все клетки матрицы в шахматном порядке и в чёрные клетки поставим единицы, а в белые — нули. Несложно убедиться, что такая матрица является и чёткой, и симметричной, и при этом имеет остроту ровно .

Интуитивно кажется, что раз существует матрица с остротой , то существует матрица и с любой меньшей остротой. Это верно всегда, кроме одного-единственного случая — не существует матрицы со стороной 3 и остротой 3, хотя и существует матрица со стороной 3 и остротой 5.

Покажем, что утверждение выше верно при нечётных n ≥ 5. Построим матрицу с остротой , как показано выше, и будем постепенно превращать единицы в нули, уменьшая остроту. Клетки с единицами в матрице бывают трёх типов.

Первый тип — центральная клетка. Она ровно одна, при этом можно превратить число в ней в ноль, и матрица не перестанет удовлетворять условию задачи.

Второй тип — клетки в центральной строке и в центральном столбце (кроме центральной клетки). Такие клетки из условия симметричности разбиваются на пары — если мы заменяем значение в одной из них на ноль, мы обязаны также заменить на ноль значение в парной ей клетке.

Третий тип — все остальные клетки. Из условия симметричности они разбиваются на четвёрки — если мы заменяем значение в некоторой клетке третьего типа на ноль, мы должны заменить на ноль значения во всех клетках той же четвёрки.

Теперь для получения требуемой остроты x будем действовать жадно. Будем заменять единицы на нули в клетках третьего типа, делая это в четырёх клетках сразу, до тех пор, пока текущая острота превышает x как минимум на 4 и ещё есть клетки третьего типа с единицами. После этого начнём убирать клетки второго типа по парам, пока текущая острота превышает x хотя бы на 2. К этому моменту острота матрицы равна либо x, либо x + 1. Если она равна x + 1, поставим ноль в центральной клетке и получим матрицу с остротой x. Несложно проверить, что мы сможем получить матрицу любой остроты, действуя по этому жадному алгоритму.

Почему такие же рассуждения не работают при n = 3? Потому что в матрице с остротой 5, полученной из шахматной раскраски, отсутствуют клетки второго типа. При n ≥ 5 в такой матрице присутствуют клетки всех типов, что и является залогом успеха. Ответы для x ≤ 5 лучше найти вручную, но аккуратно — например, многие участники решили, что при x = 2 ответ 5, а не 3.

Задача В(div 1)/D(div 2) — Угадай автомобиль!

Нам нужно найти такие x и y, при которых величина принимает минимальное возможное значение. Эту величину можно преобразовать к виду , и заметить, что поскольку левая часть не зависит от y, а правая от x, то можно минимизировать каждую из частей по отдельности. Рассмотрим, как минимизировать часть , вторая минимизируется аналогично. Поскольку выражение в скобках не зависит от j, эту часть можно переписать в виде , где . Теперь достаточно просто перебрать все возможные значения x, и вычислить для каждого из них искомую величину, после чего выбрать x, для которого это значение минимально. Точно так же находится оптимальное значение y.
Итоговая сложность решения — O(n·m + n² + m²).

В силу выпуклости целевой функции возможны и другие подходы к решению задачи, например, градиентый спуск либо аналитический метод (вычисление производных).

Главный действующий герой задачи — Ra16bit.

Задача С(div 1)/E(div 2) — Хрупкие мосты

Эту задачу можно решить несколькими способами, в разборе представлен один из них.

Для любого решения полезно заметить следующий факт. Допустим, искомый путь начинается на платформе i и заканчивается на платформе j (i ≤ j, если это не так, можно поменять начало и конец пути местами). Тогда все мосты, находящиеся между платформами i и j, будут пройдены в этом пути нечётное число раз, а все остальные мосты — чётное число раз.

Давайте найдём максимальную длину пути с концами на платформах i и j. Для этого для всех платформ найдём вспомогательные величины: left_i — максимальная длина пути, начинающегося и заканчивающегося на платформе i и при этом проходящего только по мостам левее платформы i; right_j — аналогично для мостов правее платформы j. Также для каждого моста определим odd_i — наибольшее нечётное число, не превосходящее a_i, и для каждой платформы определим sumOdd_i — сумму odd_j по всем мостам левее платформы i.

Тогда максимальная длина пути с концами на платформах i и j (i ≤ j) равна left_i + right_j + (sumOdd_j - sumOdd_i) или, что то же самое, (right_j + sumOdd_j) + (left_i - sumOdd_i).

Теперь мы можем найти пару (i, j), для которых эта величина наибольшая, за линейное время. Переберём j. Из формулы очевидно, что нужно найти такое i ≤ j, что (left_i - sumOdd_i) максимально. Если перебирать j от 1 к n, то можно хранить текущее максимальное значение этой величины для всех i ≤ j и пересчитывать его при переходе к следующему j, сравнив (left_j - sumOdd_j) с текущим максимумом и, возможно, этот максимум обновив. Таким образом, для каждого j нужно проверять не все значения i ≤ j, а только одно.

Осталось показать, как быстро искать все left_i (все right_j ищутся аналогично). Понятно, что left₁ = 0, далее будем считать left_i, используя left_i - 1. Заметим, что если a_i - 1 = 1, то left_i = 0, так как после перехода по мосту на платформу (i - 1) этот мост рухнет и вернуться на платформу i уже будет невозможно. Если же a_i - 1 > 1, то left_i = left_i - 1 + even_i - 1, где even_i - 1 — наибольшее чётное число, не превосходящее a_i - 1. Действительно, можно перейти по мосту на платформу (i - 1), проделать путь, соответствующий left_i - 1, а потом ходить по мосту между платформами (i - 1) и i, пока лимит на количество переходов не станет меньше 2 (при этом закончить нужно на платформе i).

Таким образом, общая сложность этого решения — O(n).

Задача D(div 1) — Инновационно новая задача

Первое решение, которое приходит на ум — рекуррентное соотношение f[i][j] =  (минимальное возможное количество инверсий, если среди первых j слов встречается перестановка слов, входящих в маску i). В таком решении параметр j изменяется от 0 до 500000, i — от 0 до 2¹⁵ - 1, а пересчёт значений происходит за O(1) (либо используем очередное слово, либо нет). Это слишком много.

Воспользуемся стандартным приёмом: перенесём значение соотношения в параметр, а один из параметров сделаем значением. Это можно сделать не для любого рекуррентного, но для этого как раз можно :)

Понятно, что при фиксированном подмножестве слов и количестве инверсий оптимально выбрать самые ранние вхождения этих слов, которые дают такое количество инверсий. Пусть f[i][j] =  (минимальное число z такое, что среди первых z слов найдётся перестановка слов из маски i, содержащая в точности j инверсий). База — f[0][0] = 0, f[0][j] = ∞ для j > 0. Пересчёт значений происходит следующим образом: перебираем слово q из маски i, которое было последним. Зная это слово, и количество инверсий j, легко вычислить количество инверсий j', которое было без этого слова — это j минус количество слов в маске, больших q (по номеру в описании Лёшиной задачи). Пусть p = f[i^(1«q)][j']. Тогда в качестве очередного возможного значения для f[i][j] нужно рассмотреть индекс p₂, равный позиции следующего вхождения слова q после позиции p. Для быстрого поиска таких значений необходимо заранее для каждой задачи из архива посчитать массив next[500010][15] такой, что next[i][j] = (минимальный индекс k > i такой, что k-е слово в описании текущей задачи равно j-му слову в описании задачи Лёши). Такой массив несложно посчитать за один проход справа налево.

Суммарное количество операций можно вычислить по формуле m·(k·n + 2ⁿ·C_n²·n), где m — количество задач в архиве, k — количество слов в описании одной задачи, n — количество слов в описании задачи Лёши. При заданных ограничениях эта величина составляла около 200 миллионов, и авторские решения (включая решение на Java) работали не более двух секунд. TL был выставлен довольно-таки лояльно, 5 секунд.

Главные действующие герои задач D(div 1) и B(div 2) — Chmel_Tolstiy и ivan.metelsky.

Задача E(div 1) — Насквозь бюрократическая организация

Давайте представим, что у нас в распоряжении есть функция maxN(m, k), которая по заданным m и k возвращает максимальное значение n такое, что задачу для n людей и m пустых строчек в бланке можно решить за k запросов. Тогда можно применить бинарный поиск по ответу — количеству запросов k.

Допустим, мы сделали какие-то k запросов. Сопоставим каждому из n человек строку из k бит, где i-ый бит равен единице, если этот человек был указан в i-ом запросе, и равен нулю в противном случае. Заметим, что мы сможем определить точную дату приёма для каждого человека в том и только в том случае, если всем n людям соответствуют попарно различные k-битовые строки. На самом деле, если двум людям соответствуют одинаковые строки, то они могли бы поменяться датами между собой и ответы на запросы не изменились бы. Если же всем людям соответствуют разные строки, для каждой даты можно определить, кто именно записан на эту дату, рассмотрев множество запросов, в ответах на которые эта дата фигурирует, и найдя человека, который указан ровно в том же множестве запросов.

Ограничение в m пустых строчек в бланке означает, что в каждой из k позиций в строках суммарное число единиц по всем n числам не должно превышать m. Таким образом, функция maxN(m, k) должна возвращать максимальную мощность множества различных k-битовых строк, для которых выполняется это ограничение. Давайте ослабим это ограничение: будем искать множество, в котором в сумме по всем разрядам количество единиц не превышает k·m. Как мы докажем после, ответ от этого не изменится.

С таким ослабленным ограничением задача решается простым жадным алгоритмом. Логично, что сначала лучше брать те строки, в которых меньше единиц. Будем перебирать количество единиц i в строке от 0 до k, а также хранить переменную t, обозначающую количество единиц, которое ещё можно поставить (изначально она равна k·m). Тогда на i-ом шаге максимально можно взять чисел с i единицами. Добавим p к ответу, а от t отнимем p·i. Отметим, что значения C_kⁱ нужно считать аккуратно — они могут оказаться слишком большими, и нужно не допустить переполнения.

Можно показать, что сложность такого решения на один тест составляет не более O(log²n).

Осталось доказать необходимое утверждение. Идея доказательства ниже принадлежит rng_58 (авторское было заметно сложнее).

Решим задачу жадным алгоритмом с ограничением в k·m на общее число единиц. Полученное множество может не удовлетворять ограничению в m единиц на каждый разряд — тогда в некоторых разрядах количество единиц больше m, а в некоторых меньше m. Возьмём некоторый разряд X, в котором более m единиц, и некоторый разряд Y, в котором менее m единиц. Найдём строки, в которых стоит 1 в X и 0 в Y (допустим, таких строк x) и строки, в которых стоит 0 в X и 1 в Y (допустим, таких строк y). Понятно, что x > y. В каждой из x строк мы можем попробовать поставить 0 в X и 1 в Y — тогда полученная строка может либо остаться уникальной, либо совпасть с какой-то из y строк (но ровно одной). А поскольку x > y, точно найдётся одна из x строк такая, что в ней можно поменять местами цифры в разрядах X и Y и все строки останутся различными. Сделаем это. Теперь в разряде X стало на одну единицу меньше, а в разряде Y — на одну единицу больше. Это значит, что суммарное число лишних единиц в разрядах уменьшилось (т.к. в Y единиц не стало больше m). Таким образом, повторяя эту операцию необходимое число раз, мы сможем добиться того, чтобы в каждом разряде было не более m единиц.