Блог пользователя nubir345

Автор nubir345, 3 года назад, По-английски

This blog is for personal use. You can check it out if you want.

As many people are checking out this blog, I thought of adding problems for some of the tricks.

Tricks

  1. Sum-Xor property: $$$ a+b = a \oplus b + 2(a\And b) $$$. Extended Version with two equations: $$$a+b=a\vert b + a\And b$$$ AND $$$a \oplus b = a\vert b - a\And b$$$ Problem 1 Problem 2
  2. Upto $$$10^{12}$$$ there can be atmost $$$300$$$ non-prime numbers between any two consecutive prime numbers.
  3. Any even number greater than $$$2$$$ can be split into two prime numbers. Problem1 Problem 2
  4. Sometimes it is better to write a brute force / linear search solution because its overall complexity can be less. Problem 1
  5. When $$$A \leq B$$$ then $$$\lfloor \frac{B-1}{A} \rfloor \leq N \leq \lceil \frac{B-1}{A} \rceil$$$ where $$$N$$$ is the number of multiples of A between any two multiples of B. Problem 1
  6. Coordinate Compression Technique when value of numbers doesn't matter. It can be done with the help of mapping shortest number to $$$1$$$, next greater to $$$2$$$ and so on. Problem 1
  7. Event method: When there is a problem in which two kinds of events are there (say $$$start$$$ and $$$end$$$ events), then you can give $$$-ve$$$ values to $$$start$$$ events and $$$+ve$$$ values to $$$end$$$ events, put them in a vector of pairs, sort them and then use as required. Problem 1 Problem 2
  8. When applying binary search on $$$doubles$$$ / $$$floats$$$ just run a loop upto 100 times instead of comparing $$$l$$$ and $$$r$$$. It will make things easier.
  9. For binary search you can also do binary lifting sort of thing, see this for more details. (I don't know how to add that code without messing up the list, that's why the link). Problem 1 Problem 2
  10. Sometimes, it is useful to visualize array into a number of blocks to move towards a solution.
  11. $$$gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}$$$, where $$$F_x$$$ is the $$$x_{th}$$$ fibonacci numbers and first two terms are $$$0,1$$$. Problem 1
  12. In ternary search, always keep in mind that when $$$r=l+2$$$ then $$$mid1=l$$$ and $$$mid2=r$$$ or we can say that $$$l$$$ & $$$r$$$ will remain same $$$i.e.$$$ $$$r=l+2$$$ and the condition $$$l+1$$$ will never get checked, so you have to check it explicitly. see this problem

Also, if you know any tricks / methods that you want to share and are not in the blog then you can write in the comment section, I will add them to the blog.
I will update this blog if I come across any more general methods / tricks.

  • Проголосовать: нравится
  • +472
  • Проголосовать: не нравится

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +319 Проголосовать: не нравится

If you know the proof of #3, please tell me.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Trick 7 is my personal favourite

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

nice

»
3 года назад, # |
Rev. 2   Проголосовать: нравится +15 Проголосовать: не нравится

This trick is quite well known probably but still maybe it is useful for beginners:
Ways of initializing a global array :

memset(a,0,sizeof(a)) ; // initialize with 0
memset(a,-1,sizeof(a)); // initializing with -1
memset(a,0xc0,sizeof(a)); // initializing with negative infinity
memset(a,0x3f,sizeof(a)); // initializing with positive infinity

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    I didn't know about the negative infinity and positive infinity, I guess I will put it in the blog.

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
      Rev. 2   Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

      but be careful, if you have something like
      const int INF = [something];
      then INF = 0x3f3f3f3f, not INF = 1e9
      I prefer std::fill(), because you can just fill the array using any arbitrary values that you want, despite being slower

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +33 Проголосовать: не нравится

For $$$7$$$, you can also do this: for start values, store $$$2*start$$$, and for end values, store $$$2*end+1$$$. If it's even, it will be a start value, else an end value. And start values will always come before end values.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +12 Проголосовать: не нравится

I think 6 is coordinate compression

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +10 Проголосовать: не нравится

It would be great if everybody could share a few of the peculiar tricks they know

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Can you provide links of some problems related to every tricks. It will be very helpful.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится

For trick 1, you can use it on this problem.

A different trick is that for queries, you can sometimes split it into 2 types of queries (when query is greater than sqrt(n) and less than sqrt(n)) so instead of using O(n) time you use O(sqrt(n)). You can use it in these problems 1 2.

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    how do we solve this problem? I saw few submissions of this problem, there was dp involved. Can you explain?

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Be careful using unordered_map , it can give TLE or your solution may get hacked , see the blogpost by neal about this link also unordered_map doesn't let you use complex data type like pair<int,int>,int . to make it work see the blog by arpa about it link

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    With custom hash, you can configure it so that it allows

    unordered_map<pair<int, int>, int> mp;
    
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Time to add the blog to favorite and read it after eternity.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Any problems related to 7?

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +10 Проголосовать: не нравится

Can we make this blog like every coder shares their one trick which is not mentioned in the post. It will be a great learning experience for all of us

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится -33 Проголосовать: не нравится

LOL stop treating cp as a game of remembering tricks...

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

For trick #8, I usually loop up to 200 times just to be safe. :P

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    I heard this somewhere that, if we wanted to find your name in the sorted list of names of people around the globe, it would take no more than 64 operations/iterations for binary search to figure it out. I think that 100 times is more than safe unless the epislon is really small like -1e18 or smth.

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится -8 Проголосовать: не нравится

      That statistic is probably right because $$$2^{64} > 7 \texttt{ billion}$$$. I think that binary search would take at most $$$33 - 34$$$ iterations because $$$log_2{7000000000} \sim 33$$$

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    Can You suggest a problem for the same?

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      In CF EDU binary search section, there is a lot of problems about binary search on real values.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

can you explain 5 one, i mean what is the operator being used?

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    Do you mean floor and ceil operator? or anything else?

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Hey,when i open my profile it is showing that this page is temporarily blocked by the administrator,do you know anything related to it.

      • »
        »
        »
        »
        3 года назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

        Yeah, there were some problems in rating changes in the latest contest. That's why.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится

Oh, man!! Point-8 is the best I was getting TLE for some weird reason but this trick got me accepted.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

Hey bro @nubir345 can u please give the question according to the trick just below each trick , would be very easy for others , the questions given below in comments .

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +16 Проголосовать: не нравится

When I started with CP, I struggled with Binary search a lot. Nowadays I use these rules-of-thumb for BS.
Say we are doing BS on some variable x. And There is some function bool check(int x) which is monotonic.
And check returns $$$[False, False, ..., False, True, ..., True]$$$ for different values of x and 0 <= x <= 1e9

Code
»
3 года назад, # |
Rev. 2   Проголосовать: нравится +48 Проголосовать: не нравится

Also, if you know any tricks / methods that you want to share and are not in the blog then you can write in the comment section, I will add them to the blog.

I'm sure there have been tutorials etc about this trick but since people are talking about binary search, I want to add this. I like to use iterative binary search that looks like this:

int ans = 0;
for (int k = 1 << MAX_LG; k != 0; k /= 2) {
  if (!has_some_property(ans + k)) {
    ans += k;
  }
}

This assumes 0 doesn't have "some property". In the end, ans will be the largest integer that doesn't have "some property".

Using this, I have been able to avoid guessing about one-off errors for 6 years already. It is short to write, intuitive and generalizes well to floats and bigints. I'm not sure exactly what your "trick 8" accomplishes, but I suspect iterative binary search also makes that unnecessary.

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +11 Проголосовать: не нравится

    Isn't this Binary Lifting?

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      I've only ever heard the term "binary lifting" used on trees (problems like "find the $$$k$$$-th ancestor" or LCA). But yes, both of those are essentially binary search.

      • »
        »
        »
        »
        3 года назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +31 Проголосовать: не нравится

        I don't agree with this. You can do binary jumps instead of binary search but I wouldn't call them the same thing.

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    how does this works in case of floats?

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    hi, could you explain how we can use this binary search solve a problem like, "What is the smallest number whose square is strictly larger that a given number N?" Thanks.

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Find the largest one that isn't and add 1.

      • »
        »
        »
        »
        3 года назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

        Since you have been using this for 6 years, have you never run into a binary search problem(not insanely hard) where doing some sort of easy trick(like the +1 thing here) is not applicable? I'm asking because I really like this approach but am kinda scared that if the question is complex enough, i will simply not be able to find the trick so that i can apply this method(obviously in those scenarios going back to the original implementation is always an option).

        • »
          »
          »
          »
          »
          3 года назад, # ^ |
            Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится

          Obviously all kinds of things can happen in insanely hard problems. But no, this can (almost?) always be used in place of binary search. The way I see it, there are 4 use cases for binary search:

          • find the largest number with property $$$P$$$;
          • find the smallest number with property $$$P$$$;
          • find the largest number without property $$$P$$$;
          • find the smallest number without property $$$P$$$

          and all of these can be handled by this implementation.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +41 Проголосовать: не нравится

How to get the inversion of just one number?

long long get_inv(long long x)
{
	if (x <= 1) return 1;
	return (p - p / x) * get_inv(p % x) % p;
}
  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +8 Проголосовать: не нравится

    By having memorization, it can be linear $$$O(n)$$$ to get all inversion in $$$[1 \dots n]$$$ (with high constant for modulo ofcourse)

    But if just need to find inversion of one number without using power function, what will be the complexity of the code ?

    I testest for one thousand random integer number (approximately $$$10^9$$$) and I think it is about $$$O(2 * log(n))$$$ am I correct ?

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

    What is the difference between your method and the one people usually use (using binary exponentiation)?

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Faster and easier (maybe :) ).

      • »
        »
        »
        »
        3 года назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

        I found this on cp-algorithms. Apparently, it can only be used if x is less than p.

        • »
          »
          »
          »
          »
          3 года назад, # ^ |
            Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

          inv(x) = inv(x % p)

          • »
            »
            »
            »
            »
            »
            3 года назад, # ^ |
              Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

            Thanks for clarifying, I've just known about that. By the way, there is a slight difference between your code and cp-algorithms' code, your code computes the p - p / x first, before multiplying the result with get_inv(p % x); while cp-algorithms' code computes p / x * get_inv(p % x) % p first, then subtracting the result from p. How can both of them produce the same result?

            • »
              »
              »
              »
              »
              »
              »
              3 года назад, # ^ |
              Rev. 2   Проголосовать: нравится +16 Проголосовать: не нравится

              (p - a) * b % p = (p * b - a * b) % p = (-a * b) % p = p - a * b % p

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
      Rev. 2   Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

      If you add memorization to that function, in theory to say the complexity by this way will be Linear (with high constant for taking modulo), while using binary exponentiation is $$$O(n log n)$$$ (with lighter constant)

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

For trick 1, you can add this great problem.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +24 Проголосовать: не нравится

Given a strictly increasing array $$$a_1 < a_2 < a_3 < .... < a_n$$$
Do this transformation $$$a_i := a_i - i$$$
Then the array becomes non- decreasing $$$a_1 <= a_2 <= a_3 <= .... <= a_n$$$
Fairly simple trick but quite useful sometimes :)

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Guys I'm not getting the point 8. Can anyone help me with that?

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
    Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    Sometimes precision errors lead to weird behaviour in the while (left <= right) loop in binary search.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

please keep updating this blog it is very helpful

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится

for $$$2$$$ and $$$3$$$, every number up to $$${10}^{12}$$$ accepts a goldbach decomposition with one of the numbers less than or equal to $$${10}^6$$$ (I'm not sure if the upper limit is $$${10}^5$$$).

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится
»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

The second problem in #3 is not related to the Goldbach conjecture.

They use that every even positive integer is a difference of two primes.

If you have any implication between these two conjectures, it would be a big breakthrough in number theory. See e.g. this paper.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

Can anyone help me with problem 1 of point 1 — Xor sum on Atcoder. I failed to solve it but could not find any English editorial for the problem. I found a recursive formula online

$$$f(n) = f(n/2)+f((n-1)/2) + f((n-2)/2) $$$

However, the explanation is in Chinese and GG translate only makes things messier.

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
    Rev. 2   Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится

    For each u,v<=n,a xor b=u,a+b=v,consider that if a,b are both even number,then a xor b=u/2,a/2+b/2=v/2,and u/2,v/2<=n/2,so there is f(n/2).

    If a is even and b is odd(or b is even and a is odd),then a/2 xor (b-1)/2=(u-1)/2,a/2+(b-1)/2=(v-1)/2,so there is f((n-1)/2).

    For the same reason,if a,b are both odd,then (a-1)/2 xor (b-1)/2=u/2,(a-1)/2+(b-1)/2=(v-2)/2,u/2<=(v-2)/2(because the reason of xor is always no more than sum)<=(n-2)/2,so there is f((n-2)/2).

    That's why f(n)=f(n/2)+f((n-1)/2)+f((n-2)/2).

    (It's fun that i'm also chinese and i hate messy GG translate too.However,i have to use GG translate to write this explanation lol)

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

      And we can also prove these 3 cases are mutually exclusive(i mean that,each u,v is exactly in one case):

      For each u,v(easy to see they are both even or both odd),if u,v are both odd,then it's in case2(an odd and an even in a,b).And for the case u,v are both even,if (v-u)/2 is even,means that a+b dont produce a carry on the last bit,then it's in case1(a,b are both even).For the same reason,if (v-u)/2 is odd,means that a+b produce a carry on the last bit,it's in case3(a,b are both odd).

    • »
      »
      »
      3 года назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Thanks a lot.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +13 Проголосовать: не нравится
lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c)) -- (1)
gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c)) -- (2)

https://codeforces.com/contest/1350/problem/C

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Wow, this blog is quite useful for me. Upvoted :)

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +17 Проголосовать: не нравится

$$$F[gcd(x,y)]=gcd(F[x],F[y])$$$

$$$F$$$ is the Fibonacci sequence that $$$F(0)=0$$$, $$$F(1)=1$$$, $$$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$$$ for $$$n \ge 2 $$$

»
3 года назад, # |
Rev. 5   Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится

You can also add one more property.

gcd ( x , y ) = gcd ( x-y , y );

This results in, gcd ( x , y , z , w ,.....) = gcd ( x-y , y , z , w,....)

Also,

for any a, b, if b > a, a%b = a. Additionally, if a ≥ b > [a/2] , a%b = a - b.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

For Trick # 2 you can add this Problem

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Using point 2 can we state that for checking if n is prime we just need to check if n is not divisible by any number from 2 to 300 rather than sqrt(n) if n<=1e12?

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится

    Ofc not: any product of primes greater then 300 not prime but still not divisible by any number from 2 to 300.

  • »
    »
    3 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    It just means that when you have to find greatest prime less than 10^12 than you just have to check for 300 numbers (10^12 — 300 to 10^12) if they are prime or not. Max Number of operations would be 300*10^6.

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

Here I got one trick , If n>1, then there is always at least one odd prime number x satisfying n < x < 2n

You can check this problem 1178D - Prime Graph

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

This has been very helpful, thank you so much!

»
3 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Another recent problem that can be solved using trick 1: 1556D - Take a Guess