Help in a probability problem 
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I encountered a problem about probability in my local contest but cannot figure out how to solve it.↵

Here is the problem statement (since they have removed the online pdf file):↵

There are N inclusive ranges $[a_i, b_i]$, i=1, 2, 3, ... N. Now for every range choose a random real number, find the probability that the range i gives the highest result. In case there are two or more highest results, there is no winner.↵

Constraints:↵
$1<=N<=300$, ↵
$0<=a_i, b_i<=1e9$↵

Up until now, my thinking goes like this: I will compose a set of non-intersecting smaller ranges such that for every i the range $[a_i, b_i]$ can be formed by combining some ranges in the set.↵

For example the test:↵
N = 5;↵
[0, 5]; [1, 5]; [2, 5]; [3, 5]; [4, 5];↵

The set is: S = {[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]}↵

Some visual:↵

<a href="https://ibb.co/DGTX9kc"><img src="https://i.ibb.co/N1bh9pD/Screen-Shot-2020-10-22-at-15-46-34.png" alt="Screen-Shot-2020-10-22-at-15-46-34" border="0"></a>↵

There is around O(N) ranges in this set.↵
The for every i, I will check the probability of it winning if the number chosen is from some range in S. For example, in the above test, I will find the probability of 1 winning by considering if the number is chosen from [0,1], [1, 2]... seperately. Then find the answer for i by summing them up. This solution is O(N^3).↵

However this is where I have got a Wrong Answer doing it on paper. Maybe I have some mistakes using the calculus,↵

Anyone please help me with this problem. Thanks in advance.

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  Rev. Lang. By When Δ Comment
en3 English cote 2020-10-22 11:59:10 3 Tiny change: 'bility in my local con' -> 'bility in a local con'
en2 English cote 2020-10-22 11:58:42 1
en1 English cote 2020-10-22 11:58:11 1569 Initial revision (published)