Misa-Math 1
Difference between en57 and en58, changed 0 character(s)
#### 1↵
Five men and nine women stand equally spaced around a circle in random order. The probability that every man stands diametrically opposite a woman is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$ ↵

<spoiler summary="Answer">↵
191↵
</spoiler>↵

<spoiler summary="Solution">↵
Total Ways = $\binom{14}{5}$. Out of $14$ places choose $5$ places for men. Women will follow.<br>↵
There are total $7$ pairs of seats. Choose $5$ out of them. For each pair of seats there are $2$ ways.<br>↵
So required ways = $\binom{7}{5} \cdot 2^5$<br>↵
Required Probability = $\frac{\binom{7}{5} \cdot 2^5}{\binom{14}{5}}= \frac{48}{143}$.↵
</spoiler>↵

#### 2↵
A plane contains $40$ lines, no $2$ of which are parallel. Suppose there are $3$ points where exactly $3$ lines intersect, $4$ points where exactly $4$ lines intersect, $5$ points where exactly $5$ lines intersect, $6$ points where exactly $6$ lines intersect, and no points where more than $6$ lines intersect. Find the number of points where exactly $2$ lines intersect.↵

<spoiler summary="Answer">↵
607↵
</spoiler>↵


<spoiler summary="Solution">↵
Two lines can only intersect once.<br>↵
Maximum number of intersections = $\binom{n}{2}$ (Choose any two lines and they intersect)<br>↵
Maximum number of intersections occur when for each intersection point there are only two lines intersecting at that point. Lets label these $T2$ intersection points.<br>↵
If there are intersection points where there are $x$ ($x$ > $2$) lines intersecting at some point, then we will lose $T2$ points.<br>↵
Amount of point we lost = Amount of points $x$  lines could have contributed = $\binom{x}{2}$<br>↵
So the final answer becomes <br>↵
$\binom{40}{2} - 3\binom{3}{2} - 4\binom{4}{2}- 5\binom{5}{2}- 6\binom{6}{2} = \boxed{607}.$↵
</spoiler>↵

#### 3↵
The sum of all positive integers $m$ for which $\tfrac{13!}{m}$ is a perfect square can be written as $2^{a}3^{b}5^{c}7^{d}11^{e}13^{f}$, where $a, b, c, d, e,$ and $f$ are positive integers. Find $a+b+c+d+e+f$.↵

<spoiler summary="Answer">↵
12↵
</spoiler>↵


<spoiler summary="Solution">↵
Power of $x$ in $n!$ =  $\lfloor \frac{n}{x} \rfloor + \lfloor \frac{n}{x^{2}} \rfloor+ \lfloor \frac{n}{x^3{}} \rfloor + ...$↵
Using this formula we get..↵
$13! = 2^{10} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1}$<br>↵
For a number to be perfect square it prime factorisation should consist of even powers.<br>↵
Let's write it even and odd powers seperately↵
$13! = 2^{10} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 3^{1} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1}$ <br>↵
Now we want sum of all numbers↵
$2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z} \cdot 3^{1} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1}$<br>↵
such that $0 \leq x \leq 10 $ and $0 \leq y \leq 4$ and $0 \leq z \leq 2$ and $x, y, z$ are even<br>↵
The resultant number will be $\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} \sum\limits_{z}2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z} \cdot 3^{1} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1}$<br>↵
which is <br>↵
$(\sum\limits_{x} (2^{x}))\cdot (\sum\limits_{y} (3^{y})) \cdot (\sum\limits_{z} (5^{z})) \cdot 3^{1} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1}$<br>↵
This can be computed using GP series.<br>↵
final answer = $ 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} \cdot 7^{3} \cdot 11^{1} \cdot 13^{4}$↵
</spoiler>↵


#### 4↵
There exists a unique positive integer $a$ for which the sum $\[U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor\]$ is an integer strictly between $-1000$ and $1000$. For that unique $a$, find $a+U$.↵

(Note that $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x$.)<br>↵

<spoiler summary="Answer">↵
944↵
</spoiler>↵


<spoiler summary="Solution">↵
[AOPS solution link](https://artofproblemsolving.com/community/c5h3011232p27049499)↵
</spoiler>↵

#### 5↵
Consider an $n$-by-$n$ board of unit squares for some odd positive integer $n$. We say that a collection $C$ of identical dominoes is a maximal grid-aligned configuration on the board if $C$ consists of $(n^2-1)/2$ dominoes where each domino covers exactly two neighboring squares and the dominoes don't overlap: $C$ then covers all but one square on the board. We are allowed to slide (but not rotate) a domino on the board to cover the uncovered square, resulting in a new maximal grid-aligned configuration with another square uncovered. Let $k(C)$ be the number of distinct maximal grid-aligned configurations obtainable from $C$ by repeatedly sliding dominoes. Find the maximum value of $k(C)$ as a function of $n$.↵


<spoiler summary="Answer">↵
$\frac{(n+1)^{2}}{2}$↵
</spoiler>↵


<spoiler summary="Solution">↵
[AOPS solution link](https://artofproblemsolving.com/community/c5h3038308p27349768)↵
</spoiler>↵

<br>↵
<br>↵
<br>↵


<spoiler summary="What is Misa-Math">↵
Math problems that aim to aid competitive programming skills.<br>↵
Target audience : Experts and below.↵
</spoiler>↵

History

 
 
 
 
Revisions
 
 
  Rev. Lang. By When Δ Comment
en61 English Misa-Misa 2023-11-21 07:54:21 74
en60 English Misa-Misa 2023-11-21 07:01:54 90
en59 English Misa-Misa 2023-11-21 06:47:13 2 Tiny change: 'n+1)^{2}}{2}$\n</spoi' -> 'n+1)^{2}}{4}$\n</spoi'
en58 English Misa-Misa 2023-11-21 05:33:48 0 (published)
en57 English Misa-Misa 2023-11-21 05:11:05 3
en56 English Misa-Misa 2023-11-21 05:10:16 12 Tiny change: 'nswer">\n$(n+1)^{2} / 2$\n</spoil' -> 'nswer">\n$\frac{(n+1)^{2}}{2}$\n</spoil'
en55 English Misa-Misa 2023-11-21 05:09:28 5 Tiny change: '">\n$(n+1)_2 / 2$\n</s' -> '">\n$(n+1)^{2} / 2$\n</s'
en54 English Misa-Misa 2023-11-21 05:08:45 919
en53 English Misa-Misa 2023-11-11 05:25:24 1 Tiny change: 'o $x$.)<br\n\n<spoil' -> 'o $x$.)<br>\n\n<spoil'
en52 English Misa-Misa 2023-11-10 14:35:07 259
en51 English Misa-Misa 2023-11-10 14:34:45 261
en50 English Misa-Misa 2023-11-10 06:53:02 1217
en49 English Misa-Misa 2023-11-10 06:51:09 9
en48 English Misa-Misa 2023-11-10 06:50:02 1669
en47 English Misa-Misa 2023-11-02 11:06:57 1
en46 English Misa-Misa 2023-11-02 11:06:28 17 Tiny change: 'oiler>\n\n\n<spoiler' -> 'oiler>\n\n<br>\n<br>\n<br>\n<spoiler'
en45 English Misa-Misa 2023-11-02 08:53:05 12
en44 English Misa-Misa 2023-11-02 08:52:20 130
en43 English Misa-Misa 2023-11-02 08:50:13 3
en42 English Misa-Misa 2023-11-02 08:49:02 156
en41 English Misa-Misa 2023-11-02 08:46:01 159
en40 English Misa-Misa 2023-11-02 08:42:29 6
en39 English Misa-Misa 2023-11-02 08:41:53 69
en38 English Misa-Misa 2023-11-02 08:40:14 417
en37 English Misa-Misa 2023-11-02 08:35:41 107
en36 English Misa-Misa 2023-11-02 08:28:37 41
en35 English Misa-Misa 2023-11-02 08:27:43 2 Tiny change: 'n}{x} + \farc{n}{x^{2}' -> 'n}{x} + \frac{n}{x^{2}'
en34 English Misa-Misa 2023-11-02 08:27:17 3
en33 English Misa-Misa 2023-11-02 08:26:39 2 Tiny change: ' $\lfloor{frac{n}{x}' -> ' $\lfloor frac{n}{x}'
en32 English Misa-Misa 2023-11-02 08:26:09 47
en31 English Misa-Misa 2023-11-02 08:22:53 14 Tiny change: 'n!$ = $\lceil{x}\rceil$\n\n</spo' -> 'n!$ = $\lfloor{x}\rfloor$\n\n</spo'
en30 English Misa-Misa 2023-11-02 08:21:54 58
en29 English Misa-Misa 2023-11-02 08:17:00 0
en28 English Misa-Misa 2023-11-02 08:17:00 388
en27 English Misa-Misa 2023-11-02 07:29:46 22
en26 English Misa-Misa 2023-11-02 07:28:47 55
en25 English Misa-Misa 2023-11-02 07:27:34 710
en24 English Misa-Misa 2023-11-02 07:20:08 398
en23 English Misa-Misa 2023-11-02 07:01:20 19
en22 English Misa-Misa 2023-11-02 07:00:49 142
en21 English Misa-Misa 2023-11-02 06:59:50 22
en20 English Misa-Misa 2023-11-02 06:59:04 16 Tiny change: 'om{14}{5}}= \frac{48}{143}$\n</spoi' -> 'om{14}{5}}$\n</spoi'
en19 English Misa-Misa 2023-11-02 06:58:35 22
en18 English Misa-Misa 2023-11-02 06:57:29 12
en17 English Misa-Misa 2023-11-02 06:56:48 68
en16 English Misa-Misa 2023-11-02 06:54:37 67
en15 English Misa-Misa 2023-11-02 06:53:37 70
en14 English Misa-Misa 2023-11-02 06:52:56 4 Tiny change: ' = $\frac{!14}{!5}$\nThere ' -> ' = $\frac{14!}{5!}$\nThere '
en13 English Misa-Misa 2023-11-02 06:52:39 33
en12 English Misa-Misa 2023-11-02 06:51:33 98
en11 English Misa-Misa 2023-11-02 06:50:45 147
en10 English Misa-Misa 2023-11-02 06:28:38 4 Tiny change: 'ng skills.\nTarget a' -> 'ng skills.<br>\nTarget a'
en9 English Misa-Misa 2023-11-02 06:28:24 39 Tiny change: ' skills.\n</spoil' -> ' skills.\nTarget audience : Experts and below.\n</spoil'
en8 English Misa-Misa 2023-11-02 06:27:34 11 Tiny change: 'm+n.$ \n\n\n<spoiler' -> 'm+n.$ \n\n<br>\n<br>\n<spoiler'
en7 English Misa-Misa 2023-11-02 06:27:11 135
en6 English Misa-Misa 2023-11-02 06:26:17 9 Tiny change: 'ath">\n```c++\nI plan t' -> 'ath">\n```python\nI plan t'
en5 English Misa-Misa 2023-11-02 06:25:51 19
en4 English Misa-Misa 2023-11-02 06:25:14 59
en3 English Misa-Misa 2023-11-02 06:23:58 177
en2 English Misa-Misa 2023-11-02 06:22:43 167
en1 English Misa-Misa 2023-11-02 06:18:27 249 Initial revision (saved to drafts)