Educational Codeforces Round 158 Solution (Chinese)

Правка en8, от a999999, 2023-11-27 10:12:39

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比赛链接 Educational Codeforces Round 158 (Rated for Div. 2)

目前进度:

A B C D E F
solved contest solved contest solved contest solved contest solved later not solved

A. Line Trip

简要翻译

在一维数轴上,有一辆车,刚开始在 $$$0$$$ 且油箱为满,走一个单位消耗一升油,经过 $$$a_1,a_2\ldots a_n$$$ 处可加满油。

现在需要从 $$$0$$$ 走到 $$$x$$$ 再走回 $$$0$$$ ,求能完成路径的油箱油量最小值。

思路解析

先不考虑回程,设 $$$a_0=0$$$,则 $$$ans = \underset{1\le i\le n}{max} \lbrace a_{i}-a_{i-1} \rbrace$$$ 。

在 $$$x$$$ 处转弯时不能加油,所以有 $$$ans = \max(ans,2(x-a_n))$$$ 。

返程和去程一样,不用再统计。

Code

B. Chip and Ribbon

简要翻译

有一列 $$$n$$$ 个格子和一个指针,一开始格子里的数 $$$a_i=0$$$ 。

第 $$$1$$$ 步,Mococarp 会把指针放在第一个格子上,接下来每一步可以做下列两种移动之一:

  1. 若指针在第 $$$i$$$ 个格子上,且 $$$i \neq n$$$,则将指针放在 $$$i+1$$$ 上。

  2. 将指针放在任意一个格子上(可以放在同一个格子上)。

每一步之后,若指针在第 $$$x$$$ 个格子上,则 $$$a_x$$$ 加一。

现在,Mococarp 想尽可能少的使用移动 $$$2$$$ ,使得 $$$\forall i\in [1,n],a_i=c_i$$$ 。

思路解析

只使用移动 $$$1$$$ 时相当于给一个区间加一,问题转化为用多少个区间可以使 $$$i$$$ 被 $$$c_i$$$ 个区间包含。

那么 $$$c_i>c_{i-1}$$$ 时表示有 $$$c_i -c_{i-1}$$$ 个区间要从 $$$i$$$ 开始,$ans+=c_i-c_{i-1}$ 。

Code

C. Add, Divide and Floor

简要翻译

有一个数组 $$$\lbrace a_n \rbrace$$$ ,每次可以选一个 $$$x$$$ ,将所有 $$$a_i$$$ 赋值为 $$$\lfloor \dfrac{a_i+x}{2} \rfloor$$$ ,求最少次数使 $$$a_1=a_2=\cdots=a_n$$$ 。

思路解析

先考虑两个数 $$$x,y(x<y)$$$ 如何化为相等值。

考虑两者的差值,若选的数 $$$v \ge 2$$$ 则总有等效操作。

​ 如果 $$$v\ge 2$$$ 且为偶数,则

Unable to parse markup [type=CF_MATHJAX]

\lfloor \dfrac{y+v}{2} \rfloor = \lfloor \dfrac{y}{2} \rfloor+\dfrac{v}{2}$ ,和直接除以二的效果相同。

​ 如果 $$$v\ge 2$$$ 且为奇数,则和加一再除以二的效果相同。

观察样例,在 $$$x$$$ 为奇数 且 $$$y$$$ 为偶数时,加一再除以二相当于除以二后只给 $$$x$$$ 加一。

其他情况下,加一再除以二不如直接除以二。

因为 $x\le y \Leftrightarrow \lfloor \dfrac{x+v}{2} \rfloor \le \lfloor \dfrac{y+v}{2} \rfloor$,所以只用考虑数列中的最小值和最大值,其他值经过操作后也一定夹在两数中间。

Code

D. Yet Another Monster Fight

简要翻译

有 $$$n$$$ 个怪兽,第 $$$i$$$ 个的生命值为 $$$a_i$$$ 。

Vasya 有闪电法术,他可以选择初始威力 $$$x$$$ 和攻击的第一个怪兽 $$$i_1$$$ 。

每次攻击后,闪电会随机攻击一个尚未被攻击且旁边有被攻击过怪兽的怪兽。

第 $$$k$$$ 次攻击的怪兽 $$$i_k$$$ 收到 $$$(x-k+1)$$$ 点伤害,这个值大于等于 $$$a_i$$$ 会使怪兽死亡。

现在 Vasya 想确定最小的 $$$x$$$ ,使得在适当挑选 $$$i_1$$$ 后,无论闪电的攻击顺序如何,所有怪兽都会死亡。

思路解析

对于 $$$a_i$$$ ,考虑 $$$i_1<i$$$ 和 $$$i_1>i$$$ 的情况。

  1. $$$i_1<i$$$:$$$a_i$$$ 能影响 $$$x$$$ 取值的最坏情况是,把前 $$$i-1$$$ 个数都消灭之后再消灭 $$$a_i$$$,对应的 $$$x$$$ 至少为 $$$a_i+i-1$$$ 。
  2. $$$i_1>i$$$:最坏情况变为,把后面 $$$a_{i+1} \sim a_n$$$ 都消灭后再消灭 $$$a_i$$$,对应的 $$$x$$$ 至少为 $$$a_i+n-i$$$ 。

第一种情况求后缀,第二种情况求前缀( $$$\max$$$ ),然后 $$$i_1=i$$$ 时的答案为 $$$\max \lbrace pre_{i-1}, a_i, nxt_{i+1} \rbrace $$$ ,取最小值即可。

Code

E. Compressed Tree

简要翻译

有一棵 $$$n$$$ 个点的树,每个点有权值 $$$a_i$$$ 。

在第一阶段,你可以选择任意一个有至多 $$$1$$$ 条边的点,并删除这个点和它所连的边。可以重复任意次。

在第二阶段,所有度为 $$$2$$$ 的点将被删去,原来和它相连的 $$$2$$$ 个点之间生成一条新边。一直重复直到不存在度为 $$$2$$$ 的点。

求压缩后剩下的点的权值和最大值。注意,权值可以是负数。

思路分析

比赛时想到树形 dp,但是想到换根去了,最后浪费一个小时。

官方题解的说法,是按保不保留 $$$x$$$ 与父亲 $$$fa_x$$$ 的边,以及 $$$x$$$ 保留儿子的个数来讨论的。

设 $$$f_x$$$ 为 保留 边 $$$(x,fa_x)$$$ 时, $$$x$$$ 及其子树内压缩后的最大权值和。

则讨论 $$$x$$$ 保留儿子的个数:

  1. 不保留: 只保留 $$$x$$$ 作为叶子,$f_x =\max(f_x,a_x)$ 。

  2. 保留 $$$1$$$ 个:那么 $$$x$$$ 恰好有两条边,压缩后消失,$f_x=\max(f_x,\underset{y}{\max}f_y)$ 。

  3. 保留 $$$2$$$ 个及以上: $$$x$$$ 可以保留,$f_x=\max(f_x,a_x+\underset{y}{\sum}\max(0,f_y))

    Unable to parse markup [type=CF_MATHJAX]

考虑 不保留 边 $$$(x,fa_x)$$$ 时, $$$x$$$ 子树外的节点全部都被删除了。

再讨论保留儿子的个数:

  1. 不保留: $$$ans=\max(ans,a_x)$$$ 。

  2. 保留 $$$1$$$ 个: $$$ans=\max(ans,a_x+\underset{y}{max}f_y)$$$ 。

  3. 保留 $$$2$$$ 个: $$$x$$$ 恰好会被压缩,$ans=\max(ans,\underset{y_1,y_2}{\max}(f_{y_1}+f_{y_2}))$ 。

  4. 保留 $$$3$$$ 个及以上: $$$ans=\max(ans,\underset{y}{\sum}\max(0,f_y))$$$ ,至少选三个 $$$f_y$$$ 。

儿子个数用类似 $$$01$$$ 背包的写法,非常巧妙。

Code

F. Landscaping

简要翻译

没看懂呢

思路分析

没想出来呢

代码

没写呢

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  Rev. Язык Кто Когда Δ Комментарий
en11 Английский a999999 2023-11-27 10:18:08 0 (published)
en10 Английский a999999 2023-11-27 10:17:51 5
en9 Английский a999999 2023-11-27 10:14:54 3 (saved to drafts)
en8 Английский a999999 2023-11-27 10:12:39 41 (published)
en7 Английский a999999 2023-11-27 10:09:12 1 Tiny change: '以有 $ans = max(ans,2(' -> '以有 $ans = \max(ans,2(' (saved to drafts)
en6 Английский a999999 2023-11-27 10:07:58 50 (published)
en5 Английский a999999 2023-11-27 10:06:55 210
en4 Английский a999999 2023-11-27 10:04:39 42
en3 Английский a999999 2023-11-27 10:00:34 13
en2 Английский a999999 2023-11-27 10:00:04 6
en1 Английский a999999 2023-11-27 09:59:19 7599 Initial revision (saved to drafts)