Если $$$n$$$ — простое или 1, то ответ $$$-1$$$.

Доказательство: если $$$n$$$ — простое, то $$$n = 1 \times \ldots \times 1 \cdot n$$$, но в таком случае количество единц должно быть 0, чтобы сходилась сумма, но разложение числа в само себя запрещено по условию. Значит ответ $$$-1$$$.

Если $$$n$$$ — составное, то найдем любой его делитель $$$d$$$ и разложим $$$n = d \cdot \frac{n}{d} \cdot 1 \times \ldots \times 1$$$. По такому разложению мы легко найдем количество необходимых единиц, чтобы выполнилось условие на сумму.

Утверждение: если родитель мог гарантированно выиграть, то он сможет выиграть, если отсортирует аргументы по невозрастанию.

Доказательство: отсортируем в таком порядке $$$a$$$ (назовём его $$$a'$$$) и посмотрим на префиксные суммы вида $$$s_k = \sum\limits_{i = 1}^{k}a'_i - b_i >= \sum\limits_{i = 1}^{k}a_i - b_i$$$. В таком порядке $$$|s_k|$$$ будет не меньше, чем в произвольном выигрышном, то есть момент наступления выигрыша наступит не позже.

Таким образом нужно отсортировать оба массива по убыванию и проверить, выиграет ли кто-то в таком порядке.

Давайте рассмотрим функцию $$$G(s)$$$. Заметим, какой-то буквы четно, то ни одну такую букву можно не выкидывать. Если же буквы нечетно — то нужно выкинуть не более одной такой буквы. Также можно оставить не более одной буквы такой, что ее количество нечетно. Таким образом, $$$|G(s)| \geq |s| - 25$$$.

Значит: $$$F(s) = \frac{|G(s)|^2}{|s|} \geq \frac{(|s|-25)^2}{|s|} \geq \frac{|s|^2-50|s|}{|s|} \geq |s| - 50$$$

Но с другой стороны, $$$|G(s)| \leq |s| \text{ а значит: } F(s) \leq \frac{|s|^2}{|s|} \leq |s|$$$

Значит, пусть строка-ответ равна $$$x'$$$, а $$$x = s[l\cdots r]$$$. Из этих двух уравнений следует, что $$$|x'| \geq F(x')$$$ и $$$F(x) \geq |x| - 50$$$. Значит, если $$$x' \neq x \to F(x') \geq F(x)$$$

Перейдем к неравенству: $$$|x'| \geq F(x') \geq F(x) \geq |x| - 50$$$

Получается, что строка $$$x'$$$ должна быть длиной хотя бы $$$|x|-50$$$

Значит, давайте просто переберем все подстроки, чья длина отличается не более чем на 50. Их не больше чем $$$\frac{50 \cdot 51}{2} = 1275$$$. То есть на каждый запрос мы будем тратить не больше 1275 операций, что успешно получает OK.

Если $$$k=1$$$, то это стандартная задача на посчитать выигрышные и прогрышные вершины на оренитированном графе.

$$$k \geq 2$$$.

Лемма: если у второго игрока остался суперход и расстояние до ближайшего листа $$$> k$$$, то применять суперход не выгодно. Доказательство: применим произвольный суперход. Если попали в выигрышную позицию, то второй игрок заведомо выиграл. Если попали в проигрышную позицию, то на расстянии 2 найдется проигрышная (из свойств выигрышности и проигрышности. Так как $$$k \geq 2$$$, то второй игрок туда перейдёт. В обоих случаях мы проигываем. Лемма доказана.

Вернёмся к задаче. Все вершины, расстояние от которых до одного из листов не превосходит $$$k$$$ являются проигрышными. На остальных по лемме не выгодно применять суперход, поэтому на них можно расставлять выигрышные и прогрышные позиции как обычно.

Найти все вершины, расстояние от которых до листа не превосходит $$$k$$$ можно с помощью ленивой динамики, ровно так же будем заполнять выигрышность и проигрышность оставшегося графа. Такое решение работает за $$$O(n + m)$$$.

Для начала заметим, что МЕХ на отрезке из ответа равен MEXу всего массива, найдём его за один проход: минимальное число, которое будет отсутствовать не превосходит $$$n$$$, поэтому достаточно сделать массив размера $$$n$$$ и помечать наличие куста такой высоты в нём.

Далее воспользуемся стандартной техникой двух указателей $$$l$$$ и $$$r$$$: будем двигать указатель на начало отрезка $$$l$$$ и если элемента со значением $$$a_l$$$ стало $$$0$$$ на отрезке с $$$l + 1$$$ по $$$r$$$ ($$$a_l < mex$$$), то будем двигать правый указатель $$$r$$$, пока не найдём число, равное $$$a_l$$$.

Итого решение за $$$O(n)$$$.

Утверждение 1: циклов различных длин не больше, чем $$$2\sqrt{n}$$$.

Доказательство: предположим противное, отсортируем их по возрастанию, тогда в последовательности длин каждый элемент соответственно будет не меньше, чем в последовательности $$$1, 2, \ldots, 2\sqrt{n}$$$, а сумма чисел в такой последовательности больше, чем $$$n$$$.

Утверждение 2: если мы поменяем два котика местами внутри одного цикла, то цикл распадется на два, если два котика из разных циклов, то они объединятся в один.

Доказательство: проверка непосредственно.

Пусть у нас есть $$$k$$$ циклов длинами $$$l_1, l_2, \ldots, l_k$$$, тогда мы сможем получить цикл длины $$$l_i + l_j, i \neq j$$$ или длинами до $$$\max l_i$$$.

За счёт того, что различных длин порядка корня, то первую часть можно проверить в лоб.

Итого асимптотика $$$O(n)$$$.