Есть прямоугольный лист бумаги с начальной высотой $$$n$$$ и шириной $$$m$$$. Пусть текущая высота и ширина равны $$$h$$$ и $$$w$$$ соответственно. Мы вводим $$$xy$$$-координатную систему так, чтобы четыре угла листа были $$$(0, 0), (w, 0), (0, h)$$$ и $$$(w, h)$$$. Затем лист можно разрезать вдоль линий $$$x = 1,2,\ldots,w-1$$$ и линий $$$y = 1,2,\ldots,h-1$$$. На каждом шаге бумага режется случайным образом вдоль одной из этих $$$h+w-2$$$ линий. После каждого вертикального и горизонтального разреза соответственно правая и нижняя часть бумаги отбрасывается.

Найдите ожидаемое количество шагов, необходимых для того, чтобы сделать площадь листа бумаги строго меньше $$$k$$$. Можно показать, что этот ответ всегда может быть выражен в виде дроби $$$\dfrac{p}{q}$$$, где $$$p$$$ и $$$q$$$ — взаимно простые целые числа. Вычислите $$$p\cdot q^{-1} \bmod (10^9+7)$$$.