Объяснение алгоритма быстрого преобразования Фурье

Revision ru2, by Igor_Parfenov, 2020-12-29 23:25:21

Задача

Даны два полинома: $$$A = a_{0} + a_{1} \cdot x + \dots + a_{n-1} \cdot x^{n-1}$$$ и $$$B = b_{0} + b_{1} \cdot x + \dots + b_{n-1} \cdot x^{n-1}$$$. Для удобства будем записывать их как $$$[a_{0}, a_{1}, \cdot a_{n-1}]$$$ и $$$[b_{0}, b_{1}, \cdot b_{n-1}]$$$. Необходимо найти полином $$$C = A \cdot B$$$. Его размер равен $$$2n$$$.

Тривиальное решение

Задачу можно решить за асимптотику $$$O(n^{2})$$$, напрямую посчитав $$$C = A \cdot B = [a_{0} \cdot b_{0}, a_{0} \cdot b_{1} + a_{1} \cdot b_{0}, \dots ] = [\sum\limits_{i \in [0,0]}(a_{i} \cdot b_{0-i}), \sum\limits_{i \in [0,1]}(a_{i} \cdot b_{1-i}), \dots, \sum\limits_{i \in [0,k]}(a_{i} \cdot b_{k-i}), \dots]$$$.

План решения

Решение с помощью быстрого преобразования Фурье будет состоять из трех шагов:

  1. Вычислить $$$A(x_{0}), A(x_{1}), \dots A(x_{2n-1})$$$ и $$$B(x_{0}), B(x_{1}), \dots B(x_{2n-1})$$$.

  2. Вычислить значение $$$C$$$ в точках: $$$C(x_{0}) = A(x_{0}) \cdot B(x_{0}), C(x_{1}) = A(x_{1}) \cdot B(x_{1}), \dots C(x_{2n-1}) = A(x_{2n-1}) \cdot B(x_{2n-1})$$$.

  3. Интерполировать $$$C$$$ по известным $$$2n$$$ значениям.

Вычисление значения полинома в точке в общем случае решается за $$$O(n)$$$. Поэтому первый шаг требует $$$O(n^{2})$$$ действий. Второй шаг решается одним проходом по массивам за $$$O(n)$$$. Интерполяция полинома решается в общем случае за $$$O(n^{2})$$$ с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Итоговая асимптотика решения для произвольных $$$x_{0}, x_{1}, \dots x_{2n-1}$$$ — $$$O(n^{2})$$$. Количество действий может быть существенно уменьшено, если выбрать $$$x_{0}, x_{1}, \dots x_{2n-1}$$$ особым образом.

Выбор множества для $$$X$$$

Рассмотрим множество $$$S$$$ комплексных чисел, модуль которых равен $$$1$$$. На комплексной плоскости ГМТ множества $$$S$$$ — окружность радиуса $$$1$$$ с центром в начале координат. Будем обозначать элемент множества $$$S$$$, аргумент которого равен $$$\phi$$$, как $$$\overline{\phi}$$$. Данное множество обладает замечательным свойством, на которое мы и будем опираться при написании алгоритма:

Теорема: Для $$$n \in \mathbb{Z}$$$ верно $$$(\overline{\phi})^{n} = \overline{n\phi}$$$.

Доказательство: докажем с помощью математической индукции. Для $$$n=0$$$ утверждение очевидно. Пусть утверждение верно для $$$n=k$$$. Докажем, что оно верно для $$$n=k+1$$$ и для $$$n=k-1$$$. $$$(\overline{\phi})^{k+1} = (\overline{\phi})^{k} \cdot \overline{\phi} = \overline{k\phi} \cdot \overline{\phi}$$$. Известно, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Поэтому $$$\overline{k\phi} \cdot \overline{\phi} = \overline {(k+1)\phi}$$$. Аналогично $$$(\overline{\phi})^{k-1} = \overline{k\phi} / \overline{\phi}$$$. Известно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. Поэтому $$$\overline{k\phi} / \overline{\phi} = \overline {(k-1)\phi}$$$.

Основной смысл этой теоремы — тот факт, что мы можем заменить степени на суммы. Кроме того, если выбрать в качестве множества $$$X$$$ точек числа $$$\overline{\frac{0 \cdot 2\pi}{2n}}, \overline{\frac{1 \cdot 2\pi}{2n}}, \dots \overline{\frac{(2n-1) \cdot 2\pi}{2n}}$$$, то любое число из этого множества в произвольной целой степени будет в этом множестве (говорят, множество $$$X$$$ замкнуто относительно операции целой степени).

Tags бпф, fft

History

 
 
 
 
Revisions
 
 
  Rev. Lang. By When Δ Comment
ru10 Russian Igor_Parfenov 2020-12-31 17:07:51 158
ru9 Russian Igor_Parfenov 2020-12-30 16:19:32 0 (опубликовано)
ru8 Russian Igor_Parfenov 2020-12-30 16:18:49 3840 Мелкая правка: '\n<spoiler s' -> '<spoiler s'
ru7 Russian Igor_Parfenov 2020-12-30 14:36:16 2327 Мелкая правка: '\n\n<spoiler' -> '\n<spoiler'
ru6 Russian Igor_Parfenov 2020-12-30 14:03:04 1652
ru5 Russian Igor_Parfenov 2020-12-30 13:36:49 10522 Мелкая правка: ' = B_{1}[i} - \overli' -> ' = B_{1}[i] - \overli'
ru4 Russian Igor_Parfenov 2020-12-30 12:13:03 1457 Мелкая правка: 'чу для $n=frac{k}{2}' -> 'чу для $n=\frac{k}{2}'
ru3 Russian Igor_Parfenov 2020-12-29 23:47:25 1034 Мелкая правка: 's a_{n-1}]. Необходи' -> 's a_{n-1}]$. Необходи'
ru2 Russian Igor_Parfenov 2020-12-29 23:25:21 1709 Мелкая правка: 'x_{2n-1}$ &mdash; O(n^{2}).\nКоличес' -> 'x_{2n-1}$ --- $O(n^{2})$.\nКоличес'
ru1 Russian Igor_Parfenov 2020-12-29 23:01:16 1616 Первая редакция (сохранено в черновиках)