678A - Вася любит числа
Задачу предложил Әбдірахман Исмаил bash.
Нам нужно найти минимальное x, что x * k > n. Легко видеть, что 
. Для подробного знакомства с математическими функциями пола и потолка я рекомендую книгу авторов Грэхем, Кнут, Паташник "Конкретная математика". В этой книге есть отдельная глава, посвящённая этим функциям и их свойствам.
Сложность: O(1).
678B - Такой же календарь
Задачу предложил Артур Яворски KingArthur.
Два календаря совпадают если и только, если в них одинаковое количество дней и они начинаются с одного дня недели. Таким образом, достаточно было просто перебрать следующий год, поддерживая первый день недели в году. На самом деле день недели каждый год увеличивается на единицу. Исключением являются високосные годы, когда день недели увеличивается на два.
Сложность: O(1) — легко видеть, что количество итерация не превосходит небольшой константы.
678C - Мила и шоколад
Задачу предложил Sheikh Monir skmonir.
Легко видеть, что в оба цвета мы можем покрасить доски с номерами кратными lcm(a, b) — НОК чисел a и b. Очевидно, что эти доски выгоднее красить в более дорогой цвет. Таким образом, ответ равен: 
.
Сложность: O(log(max(a, b))).
678D - Итерированная линейная функция
Задачу предложил Zi Song Yeoh zscoder.
В этой задаче можно было вывести формулу в качестве ответа: для этого нужно было посчитать сумму геометрической прогрессии. Далее формулу было легко посчитать с помощью бинарного возведения в степень.
Я опишу более сложное, но более общее решение. Если у нас есть некоторый набор переменных, который пошагово пересчитывается друг через друга с помощью линейной функции, то можно применить бинарное возведение в степень матрицы. Итак, в нашей задаче переменная была одна x. Новая переменная x' получалась по формуле A·x + B. Рассмотрим матрицу z = [[A, B], [0, 1]] и вектор v = [x, 1]. Умножим z на v слева. Легко видеть, что получится вектор v' = [x', 1]. Таким образом, чтобы сделать n итераций, мы просто должны n раз умножить слева матрицу z на вектор v. В силу свойства ассоциативности операции умножения матриц перемножение мы можем сделать бинарно.
В качестве упражнения можете попробовать выписать самостоятельно матрицу для чисел Фиббоначи и научиться их быстро считать. Под спойлером матрица и вектор.
Сложность: O(logn).
678E - Очередной турнир ситхов
Задачу предложил и подготовил Алексей Дергунов dalex.
Давайте решать задачу динамикой. zmask, i — наибольшая вероятность выиграть Ивану, если джедаи из маски mask уже хоть раз сражались, а в живых остался только i-й джедай. Для подсчёта динамики переберём следующего джедая (ему придётся сражаться против i-го джедая): 
.
Сложность по времени: O(2nn2).
Сложность по памяти: O(2nn).
678F - Лена и запросы
Задачу предложил AmirMohammad Dehghan PrinceOfPersia.
Посмотрим на задачу геометрически: пары чисел в множестве это просто прямые, задача по вертикальной прямой найти самое верхнее её пересечение с какой-либо прямой.
Разобьём все запросы на 
блоков. Рассмотрим те прямые, которые были добавлены до начала блока и не будут удалены в нём. Построим по этому множеству нижнее огибающее множество. Теперь, чтобы ответить на один запрос третьего типа нужно взять максимум по прямым нижнего огибающего множества и по запросам в блоке до текущего запроса. Последних не более , поэтому по ним мы можем пройти в лоб и обновить ответ. Теперь посмотрим на все запросы в блоке третьего типа, отсортируем их слева направо и будет искать оптимальную прямую в огибающем множестве с помощью двух указателей.
Сложность: 
.
